Начертательная геометрия: конспект лекций.
3. Сечение поверхности шара.
Любое сечение поверхности шара плоскостью является окружностью, которая проецируется без искажения только в том случае, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций. В общем же случае мы будем получать эллипс. В том случае, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций, на этой плоскости проекцией окружности является отрезок прямой, который равен диаметру этой окружности.
На рисунке 109 показано пересечение поверхности шара горизонтально-проектирующей плоскостью Р. На горизонтальную плоскость сечение будет проецироваться в виде отрезка проекции р плоскости Р, который заключён между контуром шара и равен диаметру окружности сечения. На фронтальной плоскости мы получим эллипс. О1 является центром окружности, который получен в сечении шара. Он расположен на одной высоте с центром шара О. Горизонтальная проекция о1 центра О1 окружности располагается посредине отрезка аb. Перпендикуляр, который опущен из точки о на прямую аb, попадает в точку о1, являющуюся горизонтальной проекцией центра окружности сечения. Фронтальная проекция о́1центра окружности является центром интересующего нас эллипса.
Если рассматривать эллипс как проекцию некоторой окружности, то его большая ось всегда будет проекцией того диаметра окружности, который параллелен плоскости проекций, а малая ось эллипса будет представлять собой проекцию диаметра, перпендикулярного ему. Вследствие этого большая ось эллипса проекции всегда равна диаметру проецируемой окружности. Здесь диаметр окружности СD перпендикулярен плоскости Н и проецируется без искажения на фронтальную плоскость. Для нахождения концов большой оси эллипса необходимо отложить вниз и вверх от центра о1 эллипса (по перпендикуляру к прямой о́о́1) отрезки о́1с́ и о́1d́, которые равны половине диаметра окружности сечения о́1с́ = о́1d́ = 1/2(аb). При этом диаметр АВ окружности параллелен горизонтальной плоскости, а его фронтальная проекция а́b́ представляет собой малую ось рассматриваемого эллипса.
Точки, отделяющие видимую часть эллипса от невидимой. Начнем с проведения фронтальной плоскости Q, которая делит шар пополам. Плоскость Q будет пересекать поверхность шара по окружности, проецирующейся на фронтальную плоскость в виде контура. Тогда часть линии сечения, расположенную на передней части шара, будет видно, если смотреть на шар спереди, а остальная её часть не будет видна. Плоскость Q пересечет плоскость Р по фронтали Ф1. Пересекаясь с контуром, ее фронтальная проекция Ф определит точки 1, которые отделяют видимую часть кривой от невидимой. Промежуточные точки 2́ эллипса можно найти с помощью вспомогательной фронтальной плоскости R, пересекающей поверхность шара по окружности радиуса r2, а плоскость Р – по фронтали Ф2.